Що необхідно знати на іспиті з математики

 

 

Программа по математике

для поступающих на базе 9 классов

 

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

На экзамене по математике поступающие должны показать.

1)  четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и   умение четко проводить математические рассуждения в письменном  изложении.

2)  уверенное владение основными умениями и навыками, предусмотренными  программой, умение применять их при решении задач.

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

Арифметика и алгебра.

1. Натуральные  числа  и  нуль.  Чтение  и  запись  натуральных  чисел.  Сравнение  натуральных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Квадрат и куб числа.

2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа.  Признаки  делимости  на  2,  5,  10,  3  и  9.  Деление  с  остатком.  Простые  и  составные числа. Разложение натурального числа на простые множители, Наибольший общин делитель, наименьшее общее кратное.

3. Обыкновенная  дробь.  Чтение  и  запись  дробных  чисел.  Сравнение  обыкновенных  дробей. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная части числа. Основное свойство дроби. Сокращение  дробей.  Сложение,  вычитание,  умножение  и  деление  обыкновенных  дробей. Среднее арифметическое нескольких чисел. Основные задачи на дроби.

4.   Десятичная  дробь.  Чтение  и  запись  десятичных  дробей.  Сравнение  десятичных  дробей. Сложение,  вычитание,  умножение  и  деление  десятичных  дробей.  Приближенное  значение числа. Округление чисел. Проценты. Основные задачи на проценты.

5. Положительные  и  отрицательные  числа  Противоположные  числа.  Модуль  числа,  его геометрический  смысл.  Сравнение  положительных  и  отрицательных  чисел.  Сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

6. Понятие  о  числе  как  о  результате  измерения.  Рациональные  числа.  Представление рациональных  чисел  в  виде  периодических  бесконечных  десятичных  дробей.  Свойства арифметических действий.

7. Числовые  выражения.  Применение  букв  для  записи  выражений.  Числовое  значение буквенного  выражения.  Вычисление  по  формулам.  Буквенная  запись  свойств арифметических  действий.  Простейшие  преобразования  выражений:  раскрытие  скобок, приведение подобных слагаемых.

8.Пропорция.  Основное  свойство  пропорции.  Понятие  о  прямой  и  обратной пропорциональности величин. Решение задач с помощью пропорций.

9. Составление и решение линейных уравнений. Изображение чисел на  координатной прямой. Координата  точки.  Прямоугольная  система  координат  на  плоскости,  абсцисса  и  ордината

 

Действительные числа

1.  Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Числовые неравенства и их свойства.  Почленное сложение и умножение числовых неравенств.

2.  Измерение величин. Абсолютная и относительная погрешности приближенного значения. Запись чисел в стандартном виде.

3. Квадратный корень.

4.  Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс произвольного угла.

Тождественное преобразование выражений

 

1.Многочлен.  Степень  многочлена.  Сложение,  вычитание  и  умножение  многочленов. Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения.

2. Применение формул сокращенного умножения к разложению многочленов на множители.

3. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

4.Алгебраическая  дробь.  Основное  свойство  дроби.  Сокращение  алгебраических  дробей. Сложение,  вычитание,  умножение  и  деление  алгебраических  дробей.  Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений.

5. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с целым показателем. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

6. Корень n-й степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства.

7. Основные тригонометрические тождества.

8. Арифметическая  и  геометрическая  прогрессии.  Формулы  члена  и  суммы  первых  членов  прогресси.

Уравнения и неравенства

 

1. Уравнения. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неизвестным. Квадратное  уравнение: формулы корней. Решения рациональных уравнений.

2. Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и его геометрическая интерпретация  Решение простейших систем, содержащих  уравнение второй степени

3. Линейное неравенство с одним неизвестным. Система линейных неравенств с одним неизвестным. Решение неравенств второй степени с одним неизвестным.

 

Элементарные функции

1. Функция. Область определения функции. Способы задания функции. График функции.   

2. Линейная функция, квадратичная функция.

 

Геометрия

Геометрические фигуры и их свойства

1.  Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры.

2.  Смежные и вертикальные углы и их свойства. Пересекающиеся и параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.

3.   Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема  Пифагора.

4.   Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Трапеция. Правильные многоугольники.

5.   Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.

6.   Свойство серединного перпендикуляра к отрезку; окружность, описанная около  треугольника. Свойство биссектрисы угла; окружность, вписанная в треугольник.

7.   Понятие о равенстве фигур. Признаки равенства треугольников.

8.   Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников.

Геометрические величины

1.  Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой.

2.  Величина угла и ее свойства. Измерение вписанных углов.

3.  Длина окружности. Длина дуги. Число П.

4.  Понятие о площади, основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур (без доказательства).

 5.  Площадь круга и его частей.

 

Элементы тригонометрии

 

1.  Синус, косинус, тангенс угла.

2.  Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы синусов и косинусов. Решения треугольников.

 

Координаты и векторы

1. Прямоугольные координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнения прямой и окружности.

2.  Вектор. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные вектора.  Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства. Разложение вектора  по  осям  координат.  Координаты  вектора.  Скалярное  произведение  векторов  и  его свойства .

 

II. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ

 

Алгебра

1. Степень с рациональным показателем и ее свойства.

2. Корень n-й степени и его свойства.

3. Формула n-го члена арифметической профессии.

4. Формула n-го члена геометрической профессии.

5. Функция   у = кх , ее свойства и график.

6. Функция у = к/ х , ее свойства и график.

7. Функция у = kx+b, ее свойства и график.

8. Функция у = х , ее свойства и график.

9. Функция у = ах

10. Решение квадратных уравнений. Формулы корней квадратного уравнения.

11. Разложение квадратного трехчлена на множители.

12. Формулы сокращенного умножения.

13. Решение линейных уравнений и сводящихся к ним (на конкретных примерах).

14. Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств (на конкретных примерах).

15.Решение системы уравнений:  

16. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Геометрия

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Свойства биссектрисы угла.

3. Признаки параллельности прямых.

4. Теорема о сумме углов треугольников.

5. Признаки подобия треугольников.

6. Свойства параллелограмма и его диагоналей.

7. Свойства прямоугольника, ромба и квадрата.

8. Окружность, описанная около треугольника.

 9. Окружность, вписанная в треугольник.

10. Теорема о вписанном угле в окружность.

11. Свойство касательной к окружности.

12. Теорема Пифагора.

13. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° , 60° .

14. Сложение векторов и его свойства.

15. Скалярное произведение векторов и его свойства.

16. Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.

17. Уравнение прямой и окружности.

18. Теорема синусов.

19. Теорема косинусов.

III. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ

Экзаменуемые должны:

1. владеть навыками вычислений при выполнении действий с рациональными числами (натуральными, целыми, обыкновенными и десятичными дробями);

2.  уметь выполнять тождественные преобразования основных типов алгебраических выражений (многочленов, дробно-рациональных выражений, выражений содержащих степени и корни), тригонометрических выражений;

3. уметь решать уравнения, неравенства и их системы первой и второй степени и неравенства, приводящие к системам первой и второй степени, а также решать задачи на составление уравнений;

4.  уметь строить графики функций, предусмотренных программой;

5.  уметь изображать геометрические фигуры и производить простейшие построения на  плоскости;

6. владеть навыками измерения и вычисления длин, углов и площадей, применяемых для решения разнообразных геометрических и практических задач.

 

                                                         Критерии оценивания

Задание Количество баллов
1-6 4
7-10 4
11-12 4
ВСЕГО 12